Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} x^{5} e^{- x^{4}}$

Étape 1

Réécrivez $x^{5} e^{- x^{4}}$ comme $\frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Étape 2.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Étape 2.1.3

Comme l’exposant $x^{4}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x^{4}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} (4 x^{3})}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{4}} (4 x^{3})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

Étape 2.3.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $5 x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 x^{3} e^{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{4 e^{x^{4}}}$

Étape 3

Placez le terme $\frac{5}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Étape 4.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

Étape 4.1.3

Comme l’exposant $x^{4}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x^{4}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 4.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \cdot 4 x^{3}}$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{4}} (4 x^{3})$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

Étape 4.3.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

Étape 5

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$ approche de $0$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4 \cdot 4} \cdot 0$

Étape 7.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{5}{16} \cdot 0$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{5}{16}$ par $0$ .

$0$