Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}})}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ est $f' (g (n)) g' (n)$ où $f (n) = n^{2}$ et $g (n) = \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$2 \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Associez $2$ et $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Étape 2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ par rapport à $n$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$ .

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}])$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{n (n + 1)}{n^{4}}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ est $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ où $f (n) = n (n + 1)$ et $g (n) = n^{4}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{{(n^{4})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Multipliez les exposants dans ${(n^{4})}^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{4 \cdot 2}}$

Étape 4.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{8}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) (4 n^{3})}{n^{8}}$

Étape 4.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

Étape 4.3.2

Factorisez $n^{3}$ à partir de $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $n^{3}$ à partir de $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)]$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

Étape 4.3.2.2

Factorisez $n^{3}$ à partir de $- 4 n (n + 1) n^{3}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

Étape 4.3.2.3

Factorisez $n^{3}$ à partir de $n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $n^{3}$ à partir de $n^{8}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ par $\frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{4} n^{5}}$

Étape 6.2

Multipliez $n^{4}$ par $n^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $n^{5}$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 (n^{5} n^{4})}$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{5 + 4}}$

Étape 6.2.3

Additionnez $5$ et $4$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{9}}$