Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{z + k e^{z}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{z + k e^{z}}$ comme ${(z + k e^{z})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d k} [{(z + k e^{z})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ est $f' (g (k)) g' (k)$ où $f (k) = k^{- 1}$ et $g (k) = z + k e^{z}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $z + k e^{z}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d k} [z + k e^{z}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d k} [z + k e^{z}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $z + k e^{z}$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} \frac{d}{d k} [z + k e^{z}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z + k e^{z}$ par rapport à $k$ est $\frac{d}{d k} [z] + \frac{d}{d k} [k e^{z}]$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} (\frac{d}{d k} [z] + \frac{d}{d k} [k e^{z}])$

Étape 3.2

Comme $z$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $z$ par rapport à $k$ est $0$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d k} [k e^{z}])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d k} [k e^{z}]$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} \frac{d}{d k} [k e^{z}]$

Étape 3.4

Comme $e^{z}$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $k e^{z}$ par rapport à $k$ est $e^{z} \frac{d}{d k} [k]$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} (e^{z} \frac{d}{d k} [k])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} (e^{z} \cdot 1)$

Étape 3.6

Multipliez $e^{z}$ par $1$ .

$- {(z + k e^{z})}^{- 2} e^{z}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z + k e^{z})}^{2}} e^{z}$

Étape 4.2

Associez $e^{z}$ et $\frac{1}{{(z + k e^{z})}^{2}}$ .

$- \frac{e^{z}}{{(z + k e^{z})}^{2}}$