Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$

Étape 1

Comme $r$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$ par rapport à $n$ est $r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$ .

$r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ est $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ où $f (n) = n$ et $g (n) = 1 + (n - 1) r$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $1 + (n - 1) r$ par $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + (n - 1) r$ par rapport à $n$ est $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $1$ par rapport à $n$ est $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (0 + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [(n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $r$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $(n - 1) r$ par rapport à $n$ est $r \frac{d}{d n} [n - 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r \frac{d}{d n} [n - 1])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $n - 1$ par rapport à $n$ est $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ est $n \cdot n^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (1 + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $n$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $n$ est $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r (1 + 0)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 3.10

Associez les fractions.

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Étape 3.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r \cdot 1}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 3.10.3

Associez $r$ et $\frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$ .

$\frac{r (1 + (n - 1) r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{r (1 + n r - 1 r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Associez les termes opposés dans $r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)$ .

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Étape 4.4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $r (n r)$ et $r (- n r)$ .

$\frac{r \cdot 1 + n r \cdot r + r (- 1 r) - n r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Étape 4.4.1.2

Soustrayez $n r \cdot r$ de $n r \cdot r$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r) + 0}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Étape 4.4.1.3

Additionnez $r \cdot 1 + r (- 1 r)$ et $0$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $r$ par $1$ .

$\frac{r + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Étape 4.4.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{r - r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Étape 4.4.2.3

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.2.3.1

Déplacez $r$ .

$\frac{r - (r \cdot r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Étape 4.4.2.3.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

Étape 4.5

Réécrivez $- 1 r$ comme $- r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - r)}^{2}}$

Étape 4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- r^{2} + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Étape 4.7

Factorisez $r$ à partir de $- r^{2} + r$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $r$ à partir de $- r^{2}$ .

$\frac{r (- r) + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Étape 4.7.2

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$\frac{r (- r) + r^{1}}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Étape 4.7.3

Factorisez $r$ à partir de $r^{1}$ .

$\frac{r (- r) + r \cdot 1}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Étape 4.7.4

Factorisez $r$ à partir de $r (- r) + r \cdot 1$ .

$\frac{r (- r + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- r$ .

$\frac{r (- (r) + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Étape 4.9

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r) - 1 (- 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Étape 4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (r) - 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Étape 4.11

Réécrivez $- (r - 1)$ comme $- 1 (r - 1)$ .

$\frac{r (- 1 (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

Étape 4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{r (r - 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$