Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{6}}{x - 6}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6}}{x - 6}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{x}}{x - 6}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x \cdot 6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6}{x \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{x}}{x - 6}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6}{x \cdot 6} - \frac{x}{6 x}}{x - 6}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6}{6 x} - \frac{x}{6 x}}{x - 6}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6 - x}{6 x}}{x - 6}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 6} \frac{6 - x}{6 x} \cdot \frac{1}{x - 6}$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{6 - x}{6 x}$ par $\frac{1}{x - 6}$ .

$lim_{x \to 6} \frac{6 - x}{6 x (x - 6)}$

Étape 2.1.3

Annulez le facteur commun à $6 - x$ et $x - 6$ .

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (- 6) - x}{6 x (x - 6)}$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (- 6) - (x)}{6 x (x - 6)}$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 6) - (x)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (- 6 + x)}{6 x (x - 6)}$

Étape 2.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (x - 6)}{6 x (x - 6)}$

Étape 2.1.3.5

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 6} \frac{- 1 (x - 6)}{6 x (x - 6)}$

Étape 2.1.3.6

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 6} \frac{- 1}{6 x}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{1}{6}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 6} \frac{- 1}{x}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 6} - 1}{lim_{x \to 6} x}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $- 1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 6} x}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $6$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{6}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6 \cdot 6}$

Étape 4.2.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$- \frac{1}{36}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{36}$

Forme décimale :

$- 0.02\overline{7}$