Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\cos (q) - \sin (q)}{\cos (q)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ est $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ où $f (q) = \cos (q) - \sin (q)$ et $g (q) = \cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) \frac{d}{d q} [\cos (q) - \sin (q)] - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (q) - \sin (q)$ par rapport à $q$ est $\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Étape 3

La dérivée de $\cos (q)$ par rapport à $q$ est $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $- \sin (q)$ par rapport à $q$ est $- \frac{d}{d q} [\sin (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \frac{d}{d q} [\sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Étape 5

La dérivée de $\sin (q)$ par rapport à $q$ est $\cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Étape 6

La dérivée de $\cos (q)$ par rapport à $q$ est $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) (- \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Étape 7

Multipliez.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + 1 (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 7.2

Multipliez $\cos (q) - \sin (q)$ par $1$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Associez les termes opposés dans $\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)$ .

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Étape 8.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (q) (- \sin (q))$ et $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{- \cos (q) \sin (q) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.1.2

Additionnez $- \cos (q) \sin (q)$ et $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) + 0 - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $\cos (q) (- \cos (q))$ et $0$ .

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- \cos (q) \cos (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $- \cos (q) \cos (q)$ .

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Étape 8.3.2.2.1

Élevez $\cos (q)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.2.2.2

Élevez $\cos (q)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- {\cos (q)}^{1 + 1} - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $- \sin (q) \sin (q)$ .

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Étape 8.3.2.3.1

Élevez $\sin (q)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.2.3.2

Élevez $\sin (q)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \cos^{2} (q) - {\sin (q)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (q)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (q)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q) + \sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.6

Réorganisez les termes.

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.4

Associez des termes.

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Étape 8.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\cos^{2} (q)}$

Étape 8.4.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (q)}$ à $\sec^{2} (q)$ .

$- \sec^{2} (q)$