Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})]$ .

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Étape 2.1

Associez $p$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot {(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.2

Associez $\frac{p \cdot 4}{3}$ et ${(r + h)}^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.3

Déplacez $4$ à gauche de $p$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.4

Comme $\frac{4 p}{3}$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $\frac{4 p {(r + h)}^{3}}{3}$ par rapport à $r$ est $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}]$ .

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ est $f' (g (r)) g' (r)$ où $f (r) = r^{3}$ et $g (r) = r + h$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{4 p}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $r + h$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h]$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.8

Comme $h$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $h$ par rapport à $r$ est $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.11

Associez $3$ et $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{3 (4 p)}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.12

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 p}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.13

Associez $\frac{12 p}{3}$ et ${(r + h)}^{2}$ .

$\frac{12 p {(r + h)}^{2}}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.14

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 2.14.1

Factorisez $3$ à partir de $12 p {(r + h)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 p {(r + h)}^{2}}{1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 2.14.2.4

Divisez $4 p {(r + h)}^{2}$ par $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

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Étape 3.1

Associez $p$ et $\frac{4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Étape 3.2

Associez $r^{3}$ et $\frac{p \cdot 4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (p \cdot 4)}{3}]$

Étape 3.3

Déplacez $4$ à gauche de $p$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (4 \cdot p)}{3}]$

Étape 3.4

Déplacez $4$ à gauche de $r^{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4 \cdot r^{3} p}{3}]$

Étape 3.5

Comme $- \frac{4 p}{3}$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- \frac{4 r^{3} p}{3}$ par rapport à $r$ est $- \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

Étape 3.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 3 \frac{4 p}{3} r^{2}$

Étape 3.8

Associez $- 3$ et $\frac{4 p}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 3 (4 p)}{3} r^{2}$

Étape 3.9

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p}{3} r^{2}$

Étape 3.10

Associez $\frac{- 12 p}{3}$ et $r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p r^{2}}{3}$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

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Étape 3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 p r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3}$

Étape 3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 (1)}$

Étape 3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

Étape 3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 4 p r^{2}}{1}$

Étape 3.11.2.4

Divisez $- 4 p r^{2}$ par $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 p r^{2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 r^{2} p$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez ${(r + h)}^{2}$ comme $(r + h) (r + h)$ .

$4 p ((r + h) (r + h)) - 4 r^{2} p$

Étape 4.2.2

Développez $(r + h) (r + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 p (r (r + h) + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 p (r \cdot r + r h + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

Étape 4.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 p (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Étape 4.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Multipliez $r$ par $r$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $r h$ et $h r$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $r$ et $h$ .

$4 p (r^{2} + h r + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Étape 4.2.3.2.2

Additionnez $h r$ et $h r$ .

$4 p (r^{2} + 2 h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

Étape 4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$4 p r^{2} + 4 p (2 h r) + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Étape 4.2.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Étape 4.3

Associez les termes opposés dans $4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$ .

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Étape 4.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $4 p r^{2}$ et $- 4 r^{2} p$ .

$4 r^{2} p + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4 r^{2} p$ de $4 r^{2} p$ .

$8 p h r + 4 p h^{2} + 0$

Étape 4.3.3

Additionnez $8 p h r + 4 p h^{2}$ et $0$ .

$8 p h r + 4 p h^{2}$