Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{Gm M}{r^{2}}$

Étape 1

Comme $Gm M$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $\frac{Gm M}{r^{2}}$ par rapport à $r$ est $Gm M \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ .

$Gm M \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{r^{2}}$ comme ${(r^{2})}^{- 1}$ .

$Gm M \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(r^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$Gm M \frac{d}{d r} [r^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$Gm M \frac{d}{d r} [r^{- 2}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$Gm M (- 2 r^{- 3})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$Gm M (- 2 \frac{1}{r^{3}})$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{r^{3}}$ .

$Gm M \frac{- 2}{r^{3}}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$Gm M (- \frac{2}{r^{3}})$

Étape 4.2.3

Associez $Gm$ et $\frac{2}{r^{3}}$ .

$M (- (\frac{2}{r^{3}} Gm))$

Étape 4.2.4

Associez $M$ et $\frac{2}{r^{3}}$ .

$- (\frac{M \cdot 2}{r^{3}} Gm)$

Étape 4.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $M$ .

$- \frac{2 M}{r^{3}} Gm$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $- \frac{2 M}{r^{3}} Gm$ .

$- Gm \frac{2 M}{r^{3}}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Associez $- Gm$ et $\frac{2 M}{r^{3}}$ .

$\frac{- (2 M)}{r^{3}} Gm$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 M}{r^{3}} Gm$

Étape 4.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 M}{r^{3}} Gm$