Calcul infinitésimal Exemples

$P (r) = \frac{5 (3 r + 1)}{r^{2} + r + 2}$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $\frac{5 (3 r + 1)}{r^{2} + r + 2}$ par rapport à $r$ est $5 \frac{d}{d r} [\frac{3 r + 1}{r^{2} + r + 2}]$ .

$5 \frac{d}{d r} [\frac{3 r + 1}{r^{2} + r + 2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ est $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ où $f (r) = 3 r + 1$ et $g (r) = r^{2} + r + 2$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) \frac{d}{d r} [3 r + 1] - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 r + 1$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $3 r$ par rapport à $r$ est $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $1$ par rapport à $r$ est $0$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 + 0) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) \cdot 3 - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $r^{2} + r + 2$ .

$5 \frac{3 \cdot (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $r^{2} + r + 2$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2]$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1 + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3.10

Comme $2$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $2$ par rapport à $r$ est $0$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1 + 0)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3.11

Associez les fractions.

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Étape 3.11.1

Additionnez $2 r + 1$ et $0$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 3.11.2

Associez $5$ et $\frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$ .

$\frac{5 (3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (3 r^{2} + 3 r + 3 \cdot 2 - (3 r + 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (3 r^{2} + 3 r + 3 \cdot 2 + (- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (3 r^{2}) + 5 (3 r) + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 5 (3 r) + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.3

Multipliez $5 (3 \cdot 2)$ .

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Étape 4.4.1.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 5 \cdot 6 + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.3.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- 3 r - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- 3 r - 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.5

Développez $(- 3 r - 1) (2 r + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r + 1) - 1 (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.6.1.2

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.6.1.2.1

Déplacez $r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 (r \cdot r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.6.1.2.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.6.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.6.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.6.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 2 r - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 2 r - 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.6.2

Soustrayez $2 r$ de $- 3 r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 5 r - 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2}) + 5 (- 5 r) + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.8

Simplifiez

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Étape 4.4.1.8.1

Multipliez $- 6$ par $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} + 5 (- 5 r) + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.8.2

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} - 25 r + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.1.8.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} - 25 r - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Soustrayez $30 r^{2}$ de $15 r^{2}$ .

$\frac{- 15 r^{2} + 15 r + 30 - 25 r - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Soustrayez $25 r$ de $15 r$ .

$\frac{- 15 r^{2} - 10 r + 30 - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.4.4

Soustrayez $5$ de $30$ .

$\frac{- 15 r^{2} - 10 r + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Factorisez $5$ à partir de $- 15 r^{2} - 10 r + 25$ .

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Étape 4.5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 15 r^{2}$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) - 10 r + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 10 r$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r) + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.1.3

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r) + 5 (5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.1.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r)$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 r) + 5 (5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 3 r^{2} - 2 r) + 5 (5)$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.5.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot 5 = - 15$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 4.5.2.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 r$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 (r) + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.2.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $3$ plus $- 5$

$\frac{5 (- 3 r^{2} + (3 - 5) r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (- 3 r^{2} + 3 r - 5 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.5.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{5 ((- 3 r^{2} + 3 r) - 5 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{5 (3 r (- r + 1) + 5 (- r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.5.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- r + 1$ .

$\frac{5 ((- r + 1) (3 r + 5))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

$\frac{5 (- r + 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- r$ .

$\frac{5 (- (r) + 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.7

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{5 (- (r) - 1 (- 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (r) - 1 (- 1)$ .

$\frac{5 (- (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.9

Réécrivez $- (r - 1)$ comme $- 1 (r - 1)$ .

$\frac{5 (- 1 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(5 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Étape 4.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(5 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{5 (r - 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$