Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{r} + \sqrt[3]{r}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{r} + \sqrt[3]{r}$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$ .

$\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{r}$ comme $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d r} [\sqrt[3]{r}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{r}$ comme $r^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{\frac{1 - 3}{3}}$

Étape 3.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{\frac{- 2}{3}}$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} r^{- \frac{2}{3}}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{r^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3 r^{\frac{2}{3}}}$