Calcul infinitésimal Exemples

$y = (r^{2} - 2 r) e^{r}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ est $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ où $f (r) = r^{2} - 2 r$ et $g (r) = e^{r}$ .

$(r^{2} - 2 r) \frac{d}{d r} [e^{r}] + e^{r} \frac{d}{d r} [r^{2} - 2 r]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ est $a^{r} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} \frac{d}{d r} [r^{2} - 2 r]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $r^{2} - 2 r$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 2 r]$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 2 r])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r + \frac{d}{d r} [- 2 r])$

Étape 3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- 2 r$ par rapport à $r$ est $- 2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2 \frac{d}{d r} [r])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2 \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(r^{2} - 2 r) e^{r} + e^{r} (2 r - 2)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r - 2)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r) + e^{r} \cdot - 2$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + e^{r} (2 r) - 2 \cdot e^{r}$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 2 r e^{r}$ et $e^{r} (2 r)$ .

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Étape 4.3.2.1

Déplacez $e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 r e^{r} + 2 r e^{r} - 2 e^{r}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $- 2 r e^{r}$ et $2 r e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} + 0 - 2 e^{r}$

Étape 4.3.3

Additionnez $r^{2} e^{r}$ et $0$ .

$r^{2} e^{r} - 2 e^{r}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{r} r^{2} - 2 e^{r}$

Étape 4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{r} r^{2} - 2 e^{r}$ .

$r^{2} e^{r} - 2 e^{r}$