Calcul infinitésimal Exemples

$g (r) = (8 r^{3} + 7 r + 4) (r^{2} + 3)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ est $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ où $f (r) = 8 r^{3} + 7 r + 4$ et $g (r) = r^{2} + 3$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) \frac{d}{d r} [r^{2} + 3] + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $r^{2} + 3$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [3]$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [3]) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r + \frac{d}{d r} [3]) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $3$ par rapport à $r$ est $0$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r + 0) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 r$ et $0$ .

$(8 r^{3} + 7 r + 4) (2 r) + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $8 r^{3} + 7 r + 4$ .

$2 \cdot (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) \frac{d}{d r} [8 r^{3} + 7 r + 4]$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 r^{3} + 7 r + 4$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [8 r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4]$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (\frac{d}{d r} [8 r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Étape 2.6

Comme $8$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $8 r^{3}$ par rapport à $r$ est $8 \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (8 \frac{d}{d r} [r^{3}] + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (8 (3 r^{2}) + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Étape 2.8

Multipliez $3$ par $8$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + \frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [4])$

Étape 2.9

Comme $7$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $7 r$ par rapport à $r$ est $7 \frac{d}{d r} [r]$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [4])$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [4])$

Étape 2.11

Multipliez $7$ par $1$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 + \frac{d}{d r} [4])$

Étape 2.12

Comme $4$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $4$ par rapport à $r$ est $0$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7 + 0)$

Étape 2.13

Additionnez $24 r^{2} + 7$ et $0$ .

$2 (8 r^{3} + 7 r + 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (8 r^{3}) + 2 (7 r) + 2 \cdot 4) r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (8 r^{3}) r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + (r^{2} + 3) (24 r^{2} + 7)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (8 r^{3}) r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + (r^{2} + 3) (24 r^{2}) + (r^{2} + 3) \cdot 7$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 (8 r^{3}) r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + (r^{2} + 3) \cdot 7$

Étape 3.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (8 r^{3}) r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6

Associez des termes.

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Étape 3.6.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$16 r^{3} r + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.2

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$16 (r^{1} r^{3}) + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 r^{1 + 3} + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$16 r^{4} + 2 (7 r) r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.5

Multipliez $7$ par $2$ .

$16 r^{4} + 14 r \cdot r + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.6

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$16 r^{4} + 14 (r^{1} r) + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.7

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$16 r^{4} + 14 (r^{1} r^{1}) + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 r^{4} + 14 r^{1 + 1} + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 2 \cdot 4 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.10

Multipliez $2$ par $4$ .

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + r^{2} (24 r^{2}) + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.11

Multipliez $r^{2}$ par $r^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.11.1

Déplacez $r^{2}$ .

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + r^{2} r^{2} \cdot 24 + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.11.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + r^{2 + 2} \cdot 24 + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.11.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + r^{4} \cdot 24 + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.12

Déplacez $24$ à gauche de $r^{4}$ .

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 \cdot r^{4} + 3 (24 r^{2}) + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.13

Multipliez $24$ par $3$ .

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 r^{4} + 72 r^{2} + r^{2} \cdot 7 + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.14

Déplacez $7$ à gauche de $r^{2}$ .

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 r^{4} + 72 r^{2} + 7 \cdot r^{2} + 3 \cdot 7$

Étape 3.6.15

Multipliez $3$ par $7$ .

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 r^{4} + 72 r^{2} + 7 r^{2} + 21$

Étape 3.6.16

Additionnez $72 r^{2}$ et $7 r^{2}$ .

$16 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 24 r^{4} + 79 r^{2} + 21$

Étape 3.6.17

Additionnez $16 r^{4}$ et $24 r^{4}$ .

$40 r^{4} + 14 r^{2} + 8 r + 79 r^{2} + 21$

Étape 3.6.18

Additionnez $14 r^{2}$ et $79 r^{2}$ .

$40 r^{4} + 93 r^{2} + 8 r + 21$