Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{5} (9^{s} - 4)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = \log_{5} (s)$ et $g (s) = 9^{s} - 4$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9^{s} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d s} [9^{s} - 4]$

Étape 1.2

La dérivée de $\log_{5} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d s} [9^{s} - 4]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9^{s} - 4$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} \frac{d}{d s} [9^{s} - 4]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9^{s} - 4$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [9^{s}] + \frac{d}{d s} [- 4]$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (\frac{d}{d s} [9^{s}] + \frac{d}{d s} [- 4])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d s} [a^{s}]$ est $a^{s} \ln (a)$ où $a$ = $9$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (9^{s} \ln (9) + \frac{d}{d s} [- 4])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $s$ est $0$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (9^{s} \ln (9) + 0)$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Additionnez $9^{s} \ln (9)$ et $0$ .

$\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)} (9^{s} \ln (9))$

Étape 4.2.2

Associez $9^{s}$ et $\frac{1}{(9^{s} - 4) \ln (5)}$ .

$\frac{9^{s}}{(9^{s} - 4) \ln (5)} \ln (9)$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{9^{s}}{(9^{s} - 4) \ln (5)}$ et $\ln (9)$ .

$\frac{9^{s} \ln (9)}{(9^{s} - 4) \ln (5)}$

Étape 4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9^{s} \ln (9)}{9^{s} \ln (5) - 4 \ln (5)}$