Calcul infinitésimal Exemples

$2^{\sqrt{t}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [2^{t^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = 2^{t}$ et $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 10

Associez $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $2^{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{t^{\frac{1}{2}}}}{2} \ln (2)$

Étape 11

Associez $\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{t^{\frac{1}{2}}}}{2}$ et $\ln (2)$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2)}{2}$

Étape 12

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2)}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Factorisez $2$ à partir de $2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2)$ .

$\frac{2 (2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2))}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2))}{2 (t^{\frac{1}{2}})}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2))}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2)}{t^{\frac{1}{2}}}$