Calcul infinitésimal Exemples

$A e^{k t} \sin (b t)$

Étape 1

Comme $A$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $A e^{k t} \sin (b t)$ par rapport à $t$ est $A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$ .

$A \frac{d}{d t} [e^{k t} \sin (b t)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = e^{k t}$ et $g (t) = \sin (b t)$ .

$A (e^{k t} \frac{d}{d t} [\sin (b t)] + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = b t$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $b t$ .

$A (e^{k t} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$A (e^{k t} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $b t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) \frac{d}{d t} [b t]) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $b$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $b t$ par rapport à $t$ est $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \frac{d}{d t} [t])) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) (b \cdot 1)) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Étape 4.3

Multipliez $b$ par $1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) \frac{d}{d t} [e^{k t}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = k t$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $k t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [k t]))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [k t]))$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $k t$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} \frac{d}{d t} [k t]))$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $k$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $k t$ par rapport à $t$ est $k \frac{d}{d t} [t]$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \frac{d}{d t} [t])))$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} (k \cdot 1)))$

Étape 6.3

Multipliez $k$ par $1$ .

$A (e^{k t} (\cos (b t) b) + \sin (b t) (e^{k t} k))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$A (e^{k t} (\cos (b t) b)) + A (\sin (b t) (e^{k t} k))$

Étape 7.2

Supprimez les parenthèses.

$A e^{k t} (\cos (b t) b) + A \sin (b t) (e^{k t} k)$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$

Étape 7.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{k t} A b \cos (b t) + e^{k t} A k \sin (b t)$ .

$A b e^{k t} \cos (b t) + A k e^{k t} \sin (b t)$