Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}} - \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}} - \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{5}{t^{\frac{1}{5}}}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{t^{\frac{1}{5}}}$ comme ${(t^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{5}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $t^{\frac{1}{5}}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t^{\frac{1}{5}}$ .

$5 (- {(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{5}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$5 (- {(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- t^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.5.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 2$ .

$5 (- t^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{1 - 5}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.9.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{\frac{- 4}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} t^{- \frac{4}{5}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.11

Associez $\frac{1}{5}$ et $t^{- \frac{4}{5}}$ .

$5 (- t^{- \frac{2}{5}} \frac{t^{- \frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.12

Associez $\frac{t^{- \frac{4}{5}}}{5}$ et $t^{- \frac{2}{5}}$ .

$5 (- \frac{t^{- \frac{4}{5}} t^{- \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.13

Multipliez $t^{- \frac{4}{5}}$ par $t^{- \frac{2}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (- \frac{t^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (- \frac{t^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.13.3

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$5 (- \frac{t^{\frac{- 6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- \frac{t^{- \frac{6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.14

Placez $t^{- \frac{6}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}}) + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.15

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.16

Associez $- 5$ et $\frac{1}{5 t^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{- 5}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.17

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.18

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.18.1

Factorisez $5$ à partir de $5 t^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (t^{\frac{6}{5}})} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.18.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.18.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{8}{t^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $t$ est $- 8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}$ comme ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- {(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 3.5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Étape 3.9.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3.10

Associez $\frac{3}{2}$ et $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- t^{- 3} \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.11

Associez $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $t^{- 3}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{1}{2}} t^{- 3}}{2})$

Étape 3.12

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $t^{- 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.12.1

Déplacez $t^{- 3}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 (t^{- 3} t^{\frac{1}{2}})}{2})$

Étape 3.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.12.3

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.12.4

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2})$

Étape 3.12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.6.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2})$

Étape 3.12.6.2

Additionnez $- 6$ et $1$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{\frac{- 5}{2}}}{2})$

Étape 3.12.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3 t^{- \frac{5}{2}}}{2})$

Étape 3.13

Placez $t^{- \frac{5}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} - 8 (- \frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}})$

Étape 3.14

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + 8 \frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.15

Associez $8$ et $\frac{3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{8 \cdot 3}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.16

Multipliez $8$ par $3$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{24}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.17

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.18

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.18.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 (t^{\frac{5}{2}})}$

Étape 3.18.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{2 \cdot 12}{2 t^{\frac{5}{2}}}$

Étape 3.18.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}} + \frac{12}{t^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12}{t^{\frac{5}{2}}} - \frac{1}{t^{\frac{6}{5}}}$