Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{6}{t^{2} + 5 t - 9}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{6}{t^{2} + 5 t - 9}$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}$ comme ${(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{2} + 5 t - 9$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2} + 5 t - 9$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} + 5 t - 9$ .

$6 (- {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 ({(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 5 t - 9$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Étape 3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 9])$

Étape 3.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 9])$

Étape 3.7

Comme $- 9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 + 0)$

Étape 3.8

Additionnez $2 t + 5$ et $0$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $- \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$ .

$- (2 t + 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 t) - 1 \cdot 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 t - 1 \cdot 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$(- 2 t - 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez $- 2 t - 5$ par $\frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 t - 5) \cdot 6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Étape 4.8

Déplacez $6$ à gauche de $- 2 t - 5$ .

$\frac{6 \cdot (- 2 t - 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Étape 4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 t$ .

$\frac{6 (- (2 t) - 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Étape 4.10

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{6 (- (2 t) - 1 (5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Étape 4.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 t) - 1 (5)$ .

$\frac{6 (- (2 t + 5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Étape 4.12

Réécrivez $- (2 t + 5)$ comme $- 1 (2 t + 5)$ .

$\frac{6 (- 1 (2 t + 5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

Étape 4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$