Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{8 + e^{t}}{3 t^{4} - t}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = 8 + e^{t}$ et $g (t) = 3 t^{4} - t$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) \frac{d}{d t} [8 + e^{t}] - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + e^{t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) (\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [e^{t}]) - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) (0 + \frac{d}{d t} [e^{t}]) - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) \frac{d}{d t} [e^{t}] - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) \frac{d}{d t} [3 t^{4} - t]}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{4} - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{4}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (3 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (3 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1 \cdot 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(3 t^{4} - t) e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - (8 + e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} + (- 1 \cdot 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} + (- 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Développez $(- 8 - e^{t}) (12 t^{3} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3} - 1) - e^{t} (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3}) - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3} - 1)}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 8 (12 t^{3}) - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1

Multipliez $12$ par $- 8$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} - 8 \cdot - 1 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.3.1.3.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - e^{t} (12 t^{3}) - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.3.1.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 1 \cdot 12 e^{t} t^{3} - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.3.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} - e^{t} \cdot - 1}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.3.1.3.5

Multipliez $- e^{t} \cdot - 1$ .

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Étape 5.3.1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + 1 e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.3.1.3.5.2

Multipliez $e^{t}$ par $1$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 e^{t} t^{3} + e^{t}$ .

$\frac{3 t^{4} e^{t} - t e^{t} - 96 t^{3} + 8 - 12 t^{3} e^{t} + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 96 t^{3} + 3 e^{t} t^{4} - e^{t} t - 12 e^{t} t^{3} + 8 + e^{t}}{{(3 t^{4} - t)}^{2}}$