Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{t - 1}{t^{2} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t - 1$ et $g (t) = t^{2} + 1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $t^{2} + 1$ par $1$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 1 - 2 (t - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} + 1 + (- 2 t - 2 \cdot - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{t^{2} + 1 - 2 (t \cdot t) - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2} - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2} + 2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1 + 2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $2 t$ .

$\frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2}) - (- 2 t)$ .

$\frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Réécrivez $- (t^{2} - 2 t - 1)$ comme $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ .

$\frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$