Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (t)}{1 - \cos (t)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = 1 - \cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)] - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [1 - \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [- \cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- \cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) \frac{d}{d t} [- \cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin (t) (- \frac{d}{d t} [\cos (t)])}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + 1 \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $\sin (t)$ par $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [\cos (t)]}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 4

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) + \sin (t) (- \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 5

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 6

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - {\sin (t)}^{1 + 1}}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $\cos (t)$ par $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos (t) \cos (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $- \cos (t) \cos (t)$ .

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Étape 9.2.1.2.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (t) - {\cos (t)}^{1 + 1} - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (t) - \cos^{2} (t) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - \sin^{2} (t)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (t)$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos^{2} (t)) - (\sin^{2} (t))$ .

$\frac{\cos (t) - (\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.2.5

Réorganisez les termes.

$\frac{\cos (t) - (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.2.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos (t) - 1 \cdot 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.3

Associez des termes.

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à $\cos (t) - 1$ et ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos (t)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- \cos (t)) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \cos (t) + 1)}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.3.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (1 - \cos (t))}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.3.1.5

Factorisez $1 - \cos (t)$ à partir de $- 1 (1 - \cos (t))$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{{(1 - \cos (t))}^{2}}$

Étape 9.3.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.6.1

Factorisez $1 - \cos (t)$ à partir de ${(1 - \cos (t))}^{2}$ .

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Étape 9.3.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 - \cos (t)) \cdot - 1}{(1 - \cos (t)) (1 - \cos (t))}$

Étape 9.3.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1 - \cos (t)}$

Étape 9.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{1 - \cos (t)}$