Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{t}{7 + t^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = 7 + t^{2}$ .

$\frac{(7 + t^{2}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(7 + t^{2}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez $7 + t^{2}$ par $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [7 + t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 + t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{7 + t^{2} - t (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{7 + t^{2} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{7 + t^{2} - t \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{7 + t^{2} - t (2 t)}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 t \cdot t}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 (t^{1} t)}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 (t^{1} t^{1})}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 + t^{2} - 2 t^{1 + 1}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7 + t^{2} - 2 t^{2}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 7

Soustrayez $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{7 - t^{2}}{{(7 + t^{2})}^{2}}$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- t^{2} + 7}{{(t^{2} + 7)}^{2}}$