Calcul infinitésimal Exemples

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = {(1 + 5 t)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(1 + 5 t)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [{(1 + 5 t)}^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 t)}^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(1 + 5 t)}^{2}$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 t)}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = 1 + 5 t$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + 5 t$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 + 5 t])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [1 + 5 t])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + 5 t$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) \frac{d}{d t} [1 + 5 t])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 5 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 t]))$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) (0 + \frac{d}{d t} [5 t]))$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) \frac{d}{d t} [5 t])$

Étape 3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (2 (1 + 5 t) (5 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 3.5

Multipliez $5$ par $2$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 (1 + 5 t) \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 (1 + 5 t) \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $10$ par $1$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 (1 + 5 t))$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 \cdot 1 + 10 (5 t))$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 + 10 (5 t))$

Étape 4.2.2

Multipliez $5$ par $10$ .

$e^{{(1 + 5 t)}^{2}} (10 + 50 t)$