Calcul infinitésimal Exemples

${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{4}$ et $g (t) = 8 t - 7$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $8 t - 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $8 t - 7$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 t - 7$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Étape 2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8 t$ par rapport à $t$ est $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Étape 2.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $t$ est $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Étape 2.6

Multipliez $8$ par $1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Étape 2.7

Additionnez $8$ et $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \cdot 8 + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Étape 2.8

Multipliez $8$ par $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{4}$ et $g (t) = 8 t + 7$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 t + 7$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7])$

Étape 3.3

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8 t$ par rapport à $t$ est $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [7])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [7])$

Étape 3.5

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7$ par rapport à $t$ est $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0)$

Étape 3.6

Multipliez $8$ par $1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 + 0)$

Étape 3.7

Additionnez $8$ et $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \cdot 8$

Étape 3.8

Multipliez $8$ par $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Factorisez $32$ à partir de $32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $32$ à partir de $32 {(8 t - 7)}^{3}$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

Étape 4.1.2

Factorisez $32$ à partir de $32 {(8 t + 7)}^{3}$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.1.3

Factorisez $32$ à partir de $32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Utilisez le théorème du binôme.

$32 ({(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $8 t$ .

$32 (8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.2.2.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$32 (512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.2.2.3

Appliquez la règle de produit à $8 t$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.2.2.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $64$ par $3$ .

$32 (512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.2.2.6

Multipliez $- 7$ par $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $8$ par $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.2.2.8

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.2.2.9

Multipliez $49$ par $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.2.2.10

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t + 7)}^{3})$

Étape 4.2.3

Utilisez le théorème du binôme.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Appliquez la règle de produit à $8 t$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Étape 4.2.4.2

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Étape 4.2.4.3

Appliquez la règle de produit à $8 t$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Étape 4.2.4.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Étape 4.2.4.5

Multipliez $64$ par $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Étape 4.2.4.6

Multipliez $7$ par $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Étape 4.2.4.7

Multipliez $8$ par $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 7^{2} + 7^{3})$

Étape 4.2.4.8

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + 7^{3})$

Étape 4.2.4.9

Multipliez $49$ par $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 7^{3})$

Étape 4.2.4.10

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343)$

Étape 4.3

Associez les termes opposés dans $512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343$ .

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Étape 4.3.1

Additionnez $- 1344 t^{2}$ et $1344 t^{2}$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 0 + 1176 t + 343)$

Étape 4.3.2

Additionnez $512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3}$ et $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1176 t + 343)$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 343$ et $343$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t + 0)$

Étape 4.3.4

Additionnez $512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t$ et $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t)$

Étape 4.4

Additionnez $512 t^{3}$ et $512 t^{3}$ .

$32 (1024 t^{3} + 1176 t + 1176 t)$

Étape 4.5

Additionnez $1176 t$ et $1176 t$ .

$32 (1024 t^{3} + 2352 t)$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$32 (1024 t^{3}) + 32 (2352 t)$

Étape 4.7

Multipliez $1024$ par $32$ .

$32768 t^{3} + 32 (2352 t)$

Étape 4.8

Multipliez $2352$ par $32$ .

$32768 t^{3} + 75264 t$