Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{a + b t}}{t}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a + b t}$ comme ${(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{{(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{t}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = t$ .

$\frac{t \frac{d}{d t} [{(a + b t)}^{\frac{1}{2}}] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = a + b t$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $a + b t$ .

$\frac{t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a + b t$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{t (\frac{1}{2} {(a + b t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{t (\frac{{(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 8.3

Placez ${(a + b t)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{t (\frac{1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [a + b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ et $t$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [a + b t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a + b t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [b t]$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [a] + \frac{d}{d t} [b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 10

Comme $a$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $a$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [b t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [b t]$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [b t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 12

Comme $b$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $b t$ par rapport à $t$ est $b \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} (b \frac{d}{d t} [t]) - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 13

Associez $b$ et $\frac{t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 15

Multipliez $\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 16

Multipliez $\frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$ par $\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 17

Associez.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (\frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} - {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 18

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 19

Annulez le facteur commun de $2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 19.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 19.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b t + 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} (- {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 20

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} ({(a + b t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 22

Simplifiez l’expression.

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Étape 22.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 22.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 23

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 23.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 23.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b t - 2 {(a + b t)}^{1} \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 24

Simplifiez

$\frac{b t - 2 (a + b t) \frac{d}{d t} [t]}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 25

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{b t - 2 (a + b t) \cdot 1}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 26

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{b t - 2 (a + b t)}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 27

Simplifiez

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Étape 27.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b t - 2 a - 2 (b t)}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 27.2

Soustrayez $2 b t$ de $b t$ .

$\frac{- 2 a - b t}{2 {(a + b t)}^{\frac{1}{2}} t^{2}}$

Étape 27.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 a - b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 a$ .

$\frac{- (2 a) - b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- b t$ .

$\frac{- (2 a) - (b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 a) - (b t)$ .

$\frac{- (2 a + b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.7

Réécrivez $- (2 a + b t)$ comme $- 1 (2 a + b t)$ .

$\frac{- 1 (2 a + b t)}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 a + b t}{2 t^{2} {(a + b t)}^{\frac{1}{2}}}$