Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{1}{4} t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Étape 2.3

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} t + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Étape 2.4

Associez $\frac{2}{4}$ et $t$ .

$\frac{2 t}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t$ .

$\frac{2 (t)}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Étape 2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{t}{2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \ln (t + 1)$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

$\frac{t}{2} - \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = t + 1$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

Étape 3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{1}{t + 1}$ par $1$ .

$\frac{t}{2} - \frac{1}{t + 1}$

Étape 4

Associez des termes.

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{t}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1}$

Étape 4.2

Pour écrire $- \frac{1}{t + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (t + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{t}{2}$ par $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{1}{t + 1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{(t + 1) \cdot 2}$

Étape 4.3.3

Réorganisez les facteurs de $(t + 1) \cdot 2$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{2 (t + 1)}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t (t + 1) - 2}{2 (t + 1)}$