Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 - 10 t}{1 + 9 t}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = 1 - 10 t$ et $g (t) = 1 + 9 t$ .

$\frac{(1 + 9 t) \frac{d}{d t} [1 - 10 t] - (1 - 10 t) \frac{d}{d t} [1 + 9 t]}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 10 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 10 t]$ .

$\frac{(1 + 9 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 10 t]) - (1 - 10 t) \frac{d}{d t} [1 + 9 t]}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(1 + 9 t) (0 + \frac{d}{d t} [- 10 t]) - (1 - 10 t) \frac{d}{d t} [1 + 9 t]}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- 10 t]$ .

$\frac{(1 + 9 t) \frac{d}{d t} [- 10 t] - (1 - 10 t) \frac{d}{d t} [1 + 9 t]}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 10$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 10 t$ par rapport à $t$ est $- 10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + 9 t) (- 10 \frac{d}{d t} [t]) - (1 - 10 t) \frac{d}{d t} [1 + 9 t]}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + 9 t) (- 10 \cdot 1) - (1 - 10 t) \frac{d}{d t} [1 + 9 t]}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$\frac{(1 + 9 t) \cdot - 10 - (1 - 10 t) \frac{d}{d t} [1 + 9 t]}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $- 10$ à gauche de $1 + 9 t$ .

$\frac{- 10 \cdot (1 + 9 t) - (1 - 10 t) \frac{d}{d t} [1 + 9 t]}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 9 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [9 t]$ .

$\frac{- 10 (1 + 9 t) - (1 - 10 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [9 t])}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{- 10 (1 + 9 t) - (1 - 10 t) (0 + \frac{d}{d t} [9 t])}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [9 t]$ .

$\frac{- 10 (1 + 9 t) - (1 - 10 t) \frac{d}{d t} [9 t]}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $9 t$ par rapport à $t$ est $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{- 10 (1 + 9 t) - (1 - 10 t) (9 \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.11

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{- 10 (1 + 9 t) - 9 (1 - 10 t) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- 10 (1 + 9 t) - 9 (1 - 10 t) \cdot 1}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 2.13

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{- 10 (1 + 9 t) - 9 (1 - 10 t)}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 \cdot 1 - 10 (9 t) - 9 (1 - 10 t)}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 10 \cdot 1 - 10 (9 t) - 9 \cdot 1 - 9 (- 10 t)}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$\frac{- 10 - 10 (9 t) - 9 \cdot 1 - 9 (- 10 t)}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $9$ par $- 10$ .

$\frac{- 10 - 90 t - 9 \cdot 1 - 9 (- 10 t)}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{- 10 - 90 t - 9 - 9 (- 10 t)}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 10$ par $- 9$ .

$\frac{- 10 - 90 t - 9 + 90 t}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Associez les termes opposés dans $- 10 - 90 t - 9 + 90 t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Additionnez $- 90 t$ et $90 t$ .

$\frac{- 10 + 0 - 9}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 10$ et $0$ .

$\frac{- 10 - 9}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $9$ de $- 10$ .

$\frac{- 19}{{(1 + 9 t)}^{2}}$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{19}{{(1 + 9 t)}^{2}}$