Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{\ln (2 x)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\ln (2 x)}$ comme ${\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \ln (2 x)$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 4.6

Associez les fractions.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 4.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 4.6.3

Placez ${\ln (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.7.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.8.1

Multipliez $\frac{1}{2 x}$ par $\frac{1}{2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x (2 {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.8.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.8.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.8.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.8.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 4.11

Multipliez $\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{1}{2 x {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x {(\ln (2 x))}^{\frac{1}{2}}}$