Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = \frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$3 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$ .

$3 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} (5 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}])$

Étape 2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = 3 t^{2} + 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{(3 t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{(3 t^{2} + 2) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Déplacez $2$ à gauche de $3 t^{2} + 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 \cdot (3 t^{2} + 2) t - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} + 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 4.7

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 4.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.8.1

Additionnez $6 t$ et $0$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 4.8.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{2} t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 (t^{1} t^{2})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{1 + 2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 8

Associez $\frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ et $15$ .

$\frac{(2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}) \cdot 15}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2}$

Étape 9

Déplacez $15$ à gauche de $2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}$ .

$\frac{15 \cdot (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$\frac{15 (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(5 t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.2

Appliquez la règle de produit à $5 t^{2}$ .

$\frac{15 (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 ((2 (3 t^{2}) + 2 \cdot 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 (2 (3 t^{2}) t + 2 \cdot 2 t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{15 (2 (3 t^{2}) t) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6

Associez des termes.

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Étape 10.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{15 (6 t^{2} t) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 (6 (t^{1} t^{2})) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 (6 t^{1 + 2}) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{15 (6 t^{3}) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.5

Multipliez $6$ par $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{90 t^{3} + 15 (4 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.7

Multipliez $4$ par $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 60 t + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.8

Multipliez $- 6$ par $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 60 t - 90 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.9

Soustrayez $90 t^{3}$ de $90 t^{3}$ .

$\frac{60 t + 0}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.10

Additionnez $60 t$ et $0$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.11

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.12

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{2}$ .

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Étape 10.6.12.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 t^{2 \cdot 2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.12.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.13

Multipliez $\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ par $\frac{25 t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{60 t (25 t^{4})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.14

Multipliez $25$ par $60$ .

$\frac{1500 t \cdot t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.15

Multipliez $t$ par $t^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.6.15.1

Déplacez $t^{4}$ .

$\frac{1500 (t^{4} t)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.15.2

Multipliez $t^{4}$ par $t$ .

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Étape 10.6.15.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{1500 (t^{4} t^{1})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.15.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1500 t^{4 + 1}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.15.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Étape 10.6.16

Multipliez ${(3 t^{2} + 2)}^{2}$ par ${(3 t^{2} + 2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.6.16.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2 + 2}}$

Étape 10.6.16.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{4}}$