Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{t^{3} + 2 t^{2}}{\sqrt{t}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{3} + 2 t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{3} + 2 t^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{3}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t + 2 t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.2

Factorisez $t^{2}$ à partir de $2 t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} t + t^{2} \cdot 2}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2.3

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{2} t + t^{2} \cdot 2$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{2} (t + 2)}{t^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3

Placez $t^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} (t + 2) t^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4

Multipliez $t^{2}$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2}} t^{2} (t + 2)]$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + 2} (t + 2)]$

Étape 4.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (t + 2)]$

Étape 4.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (t + 2)]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (t + 2)]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{- 1 + 4}{2}} (t + 2)]$

Étape 4.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}} (t + 2)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ et $g (t) = t + 2$ .

$t^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d t} [t + 2] + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$t^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d t} [2]) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Étape 6.3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$t^{\frac{3}{2}} (1 + 0) + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$t^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Étape 6.4.2

Multipliez $t^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

Étape 6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}})$

Étape 11

Associez $\frac{3}{2}$ et $t^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + (t + 2) \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$t^{\frac{3}{2}} + t \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12.2

Associez des termes.

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Étape 12.2.1

Associez $t$ et $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{t (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12.2.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (t^{1} t^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12.2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12.2.7

Associez $2$ et $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 12.2.8

Multipliez $3$ par $2$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 12.2.9

Factorisez $2$ à partir de $6 t^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 12.2.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Étape 12.2.10.2

Annulez le facteur commun.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.10.3

Réécrivez l’expression.

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1}$

Étape 12.2.10.4

Divisez $3 t^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$t^{\frac{3}{2}} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 12.2.11

Pour écrire $t^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 12.2.12

Associez $t^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 12.2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{t^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 12.2.14

Déplacez $2$ à gauche de $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{3}{2}} + 3 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 12.2.15

Additionnez $2 t^{\frac{3}{2}}$ et $3 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 t^{\frac{1}{2}}$

Étape 12.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$