Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{t^{2} + 8}{7 t}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t^{2} + 8}{7 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 8}{t}]$ .

$\frac{1}{7} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2} + 8}{t}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2} + 8$ et $g (t) = t$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{t \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 8$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{t (2 t + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.3

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{t (2 t + 0) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 3.4

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{t (2 t) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 (t^{1} t) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 (t^{1} t^{1}) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 t^{1 + 1} - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 8) \cdot 1}{t^{2}}$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{2 t^{2} - (t^{2} + 8)}{t^{2}}$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 8)}{t^{2}}$ .

$\frac{2 t^{2} - (t^{2} + 8)}{7 t^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 1 \cdot 8}{7 t^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{2 t^{2} - t^{2} - 8}{7 t^{2}}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 8}{7 t^{2}}$