Calcul infinitésimal Exemples

${(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = t^{2} + 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 6.3

Placez ${(t^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 9

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t + 0)$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 t)$

Étape 10.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} t$

Étape 10.3

Associez $\frac{2}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $t$ .

$\frac{2 t}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t}{2 {(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{t}{{(t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$