Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{t^{3}}{t^{8} + 3})}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

$2 \frac{t^{3}}{t^{8} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Étape 2

Associez $2$ et $\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{8} + 3}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = t^{8} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{(t^{8} + 3) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 3]}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{(t^{8} + 3) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 3]}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 4.2

Déplacez $3$ à gauche de $t^{8} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{8} + 3]}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{8} + 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 4.5

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (8 t^{7} + 0)}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $8 t^{7}$ et $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - t^{3} (8 t^{7})}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 4.6.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{3} t^{7}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 5

Multipliez $t^{3}$ par $t^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1

Déplacez $t^{7}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 (t^{7} t^{3})}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{7 + 3}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 5.3

Additionnez $7$ et $3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3} \cdot \frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 6

Multipliez $\frac{2 t^{3}}{t^{8} + 3}$ par $\frac{3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10}}{{(t^{8} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{(t^{8} + 3) {(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 7

Multipliez $t^{8} + 3$ par ${(t^{8} + 3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Multipliez $t^{8} + 3$ par ${(t^{8} + 3)}^{2}$ .

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Étape 7.1.1

Élevez $t^{8} + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{1} {(t^{8} + 3)}^{2}}$

Étape 7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{1 + 2}}$

Étape 7.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{8} + 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{8} + 3 \cdot 3) t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2} + 3 \cdot 3 t^{2} - 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{8} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.1.1

Multipliez $t^{3}$ par $t^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.1.1.1

Déplacez $t^{8}$ .

$\frac{2 (t^{8} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{8 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.1.3

Additionnez $8$ et $3$ .

$\frac{2 t^{11} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.3

Multipliez $t^{11}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.1.3.1

Déplacez $t^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{11}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.3.3

Additionnez $2$ et $11$ .

$\frac{2 \cdot 3 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.6

Multipliez $t^{3}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.1.6.1

Déplacez $t^{2}$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.6.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.7

Multipliez $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

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Étape 8.4.1.7.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 6 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.7.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 t^{3} (- 8 t^{10})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{3} t^{10}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.9

Multipliez $t^{3}$ par $t^{10}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.4.1.9.1

Déplacez $t^{10}$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 (t^{10} t^{3})}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{10 + 3}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.9.3

Additionnez $10$ et $3$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 8 t^{13}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.1.10

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{6 t^{13} + 18 t^{5} - 16 t^{13}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.4.2

Soustrayez $16 t^{13}$ de $6 t^{13}$ .

$\frac{- 10 t^{13} + 18 t^{5}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.5

Factorisez $2 t^{5}$ à partir de $- 10 t^{13} + 18 t^{5}$ .

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Étape 8.5.1

Factorisez $2 t^{5}$ à partir de $- 10 t^{13}$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 18 t^{5}}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.5.2

Factorisez $2 t^{5}$ à partir de $18 t^{5}$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.5.3

Factorisez $2 t^{5}$ à partir de $2 t^{5} (- 5 t^{8}) + 2 t^{5} (9)$ .

$\frac{2 t^{5} (- 5 t^{8} + 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 t^{8}$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) + 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.7

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8}) - 1 (- 9))}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 t^{8}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{2 t^{5} (- (5 t^{8} - 9))}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.9

Réécrivez $- (5 t^{8} - 9)$ comme $- 1 (5 t^{8} - 9)$ .

$\frac{2 t^{5} (- 1 (5 t^{8} - 9))}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$

Étape 8.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 t^{5}) (5 t^{8} - 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$ .

$- \frac{2 t^{5} (5 t^{8} - 9)}{{(t^{8} + 3)}^{3}}$