Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(2 + x)}^{3} - 8}{x}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{{(2 + x)}^{3} - 2^{3}}{x}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 2 + x$ et $b = 2$ .

$\frac{(2 + x - 2) ({(2 + x)}^{2} + (2 + x) \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{(x + 0) ({(2 + x)}^{2} + (2 + x) \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{x ({(2 + x)}^{2} + (2 + x) \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.3

Réécrivez ${(2 + x)}^{2}$ comme $(2 + x) (2 + x)$ .

$\frac{x ((2 + x) (2 + x) + (2 + x) \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.4

Développez $(2 + x) (2 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 (2 + x) + x (2 + x) + (2 + x) \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x) + (2 + x) \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x + (2 + x) \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.5.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x (4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x + (2 + x) \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.5.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x (4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x + (2 + x) \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.5.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x (4 + 2 x + 2 x + x^{2} + (2 + x) \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.5.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x (4 + 4 x + x^{2} + (2 + x) \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (4 + 4 x + x^{2} + 2 \cdot 2 + x \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x (4 + 4 x + x^{2} + 4 + x \cdot 2 + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.8

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x (4 + 4 x + x^{2} + 4 + 2 \cdot x + 2^{2})}{x}$

Étape 1.3.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{x (4 + 4 x + x^{2} + 4 + 2 x + 4)}{x}$

Étape 1.3.10

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{x (4 x + x^{2} + 8 + 2 x + 4)}{x}$

Étape 1.3.11

Additionnez $4 x$ et $2 x$ .

$\frac{x (6 x + x^{2} + 8 + 4)}{x}$

Étape 1.3.12

Additionnez $8$ et $4$ .

$\frac{x (6 x + x^{2} + 12)}{x}$

Étape 1.3.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x (x^{2} + 6 x + 12)}{x}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x^{2} + 6 x + 12)}{x}$

Étape 2.2

Divisez $x^{2} + 6 x + 12$ par $1$ .

$x^{2} + 6 x + 12$