Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{9 - x^{- 2}}{3 - x^{- 1}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3^{2} - x^{- 2}}{3 - x^{- 1}}$

Étape 1.2

Réécrivez $x^{- 2}$ comme ${(x^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{3^{2} - {(x^{- 1})}^{2}}{3 - x^{- 1}}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x^{- 1}$ .

$\frac{(3 + x^{- 1}) (3 - x^{- 1})}{3 - x^{- 1}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(3 + \frac{1}{x}) (3 - x^{- 1})}{3 - x^{- 1}}$

Étape 1.4.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}) (3 - x^{- 1})}{3 - x^{- 1}}$

Étape 1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} (3 - x^{- 1})}{3 - x^{- 1}}$

Étape 1.4.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} (3 - \frac{1}{x})}{3 - x^{- 1}}$

Étape 1.4.5

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} (\frac{3 x}{x} - \frac{1}{x})}{3 - x^{- 1}}$

Étape 1.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x - 1}{x}}{3 - x^{- 1}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x - 1}{x}}{3 - \frac{1}{x}}$

Étape 2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x - 1}{x}}{\frac{3 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x - 1}{x}}{\frac{3 x - 1}{x}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{3 x + 1}{x}$ par $\frac{3 x - 1}{x}$ .

$\frac{\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{x \cdot x}}{\frac{3 x - 1}{x}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{x^{1} x}}{\frac{3 x - 1}{x}}$

Étape 4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{x^{1} x^{1}}}{\frac{3 x - 1}{x}}$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{x^{1 + 1}}}{\frac{3 x - 1}{x}}$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{x^{2}}}{\frac{3 x - 1}{x}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{x^{2}} \cdot \frac{x}{3 x - 1}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $3 x - 1$ .

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Étape 6.1

Factorisez $3 x - 1$ à partir de $(3 x + 1) (3 x - 1)$ .

$\frac{(3 x - 1) (3 x + 1)}{x^{2}} \cdot \frac{x}{3 x - 1}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x - 1) (3 x + 1)}{x^{2}} \cdot \frac{x}{3 x - 1}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x + 1}{x^{2}} x$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{x \cdot x} x$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x + 1}{x \cdot x} x$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x + 1}{x}$