Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\frac{1}{x + 2} + 3}{\frac{4}{x} - x}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(x + 2) x$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{x + 2} + 3}{\frac{4}{x} - x}$ par $\frac{(x + 2) x}{(x + 2) x}$ .

$\frac{(x + 2) x}{(x + 2) x} \cdot \frac{\frac{1}{x + 2} + 3}{\frac{4}{x} - x}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{(x + 2) x (\frac{1}{x + 2} + 3)}{(x + 2) x (\frac{4}{x} - x)}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 2) x \frac{1}{x + 2} + (x + 2) x \cdot 3}{(x + 2) x \frac{4}{x} + (x + 2) x (- x)}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) x$ .

$\frac{(x + 2) (x) \frac{1}{x + 2} + (x + 2) x \cdot 3}{(x + 2) x \frac{4}{x} + (x + 2) x (- x)}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) x \frac{1}{x + 2} + (x + 2) x \cdot 3}{(x + 2) x \frac{4}{x} + (x + 2) x (- x)}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + (x + 2) x \cdot 3}{(x + 2) x \frac{4}{x} + (x + 2) x (- x)}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $(x + 2) x$ .

$\frac{x + (x + 2) x \cdot 3}{x (x + 2) \frac{4}{x} + (x + 2) x (- x)}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + (x + 2) x \cdot 3}{x (x + 2) \frac{4}{x} + (x + 2) x (- x)}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + (x + 2) x \cdot 3}{(x + 2) \cdot 4 + (x + 2) x (- x)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x + (x + 2) x \cdot 3$ .

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Étape 4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} + (x + 2) x \cdot 3}{(x + 2) \cdot 4 + (x + 2) x (- x)}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 + (x + 2) x \cdot 3}{(x + 2) \cdot 4 + (x + 2) x (- x)}$

Étape 4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $(x + 2) x \cdot 3$ .

$\frac{x \cdot 1 + x ((x + 2) \cdot 3)}{(x + 2) \cdot 4 + (x + 2) x (- x)}$

Étape 4.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x ((x + 2) \cdot 3)$ .

$\frac{x (1 + (x + 2) \cdot 3)}{(x + 2) \cdot 4 + (x + 2) x (- x)}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (1 + x \cdot 3 + 2 \cdot 3)}{(x + 2) \cdot 4 + (x + 2) x (- x)}$

Étape 4.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x (1 + 3 \cdot x + 2 \cdot 3)}{(x + 2) \cdot 4 + (x + 2) x (- x)}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x (1 + 3 \cdot x + 6)}{(x + 2) \cdot 4 + (x + 2) x (- x)}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{x (3 x + 7)}{(x + 2) \cdot 4 + (x + 2) x (- x)}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) \cdot 4 + (x + 2) x (- x)$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) \cdot 4$ .

$\frac{x (3 x + 7)}{(x + 2) (4) + (x + 2) x (- x)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) x (- x)$ .

$\frac{x (3 x + 7)}{(x + 2) (4) + (x + 2) (x (- x))}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) (4) + (x + 2) (x (- x))$ .

$\frac{x (3 x + 7)}{(x + 2) (4 + x (- x))}$

Étape 5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x (3 x + 7)}{(x + 2) (2^{2} + x (- x))}$

Étape 5.3

Réécrivez $x (x)$ comme $x^{2}$ .

$\frac{x (3 x + 7)}{(x + 2) (2^{2} - x^{2})}$

Étape 5.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$\frac{x (3 x + 7)}{(x + 2) (2 + x) (2 - x)}$

Étape 5.5

Associez les exposants.

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Étape 5.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x (3 x + 7)}{(x + 2) (x + 2) (2 - x)}$

Étape 5.5.2

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (3 x + 7)}{{(x + 2)}^{1} (x + 2) (2 - x)}$

Étape 5.5.3

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (3 x + 7)}{{(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (2 - x)}$

Étape 5.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (3 x + 7)}{{(x + 2)}^{1 + 1} (2 - x)}$

Étape 5.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x (3 x + 7)}{{(x + 2)}^{2} (2 - x)}$