Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{5}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{25}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $25 x^{2}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{5}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{25}}$ par $\frac{25 x^{2}}{25 x^{2}}$ .

$\frac{25 x^{2}}{25 x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{5}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{25}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{25 x^{2} (\frac{1}{x} - \frac{1}{5})}{25 x^{2} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{25})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{25 x^{2} \frac{1}{x} + 25 x^{2} (- \frac{1}{5})}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $25 x^{2}$ .

$\frac{x (25 x) \frac{1}{x} + 25 x^{2} (- \frac{1}{5})}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (25 x) \frac{1}{x} + 25 x^{2} (- \frac{1}{5})}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 x + 25 x^{2} (- \frac{1}{5})}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{25 x + 25 x^{2} \frac{- 1}{5}}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Étape 3.2.2

Factorisez $5$ à partir de $25 x^{2}$ .

$\frac{25 x + 5 (5 x^{2}) \frac{- 1}{5}}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 x + 5 (5 x^{2}) \frac{- 1}{5}}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 x + 5 x^{2} \cdot - 1}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{25 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $25 x^{2}$ .

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{x^{2} \cdot 25 \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{x^{2} \cdot 25 \frac{1}{x^{2}} + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{25 + 25 x^{2} (- \frac{1}{25})}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{25}$ dans le numérateur.

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{25 + 25 x^{2} \frac{- 1}{25}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $25$ à partir de $25 x^{2}$ .

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{25 + 25 (x^{2}) \frac{- 1}{25}}$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{25 + 25 x^{2} \frac{- 1}{25}}$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{25 x - 5 x^{2}}{25 + x^{2} \cdot - 1}$

Étape 4

Factorisez $5 x$ à partir de $25 x - 5 x^{2}$ .

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Étape 4.1

Factorisez $5 x$ à partir de $25 x$ .

$\frac{5 x (5) - 5 x^{2}}{25 + x^{2} \cdot - 1}$

Étape 4.2

Factorisez $5 x$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{5 x (5) + 5 x (- x)}{25 + x^{2} \cdot - 1}$

Étape 4.3

Factorisez $5 x$ à partir de $5 x (5) + 5 x (- x)$ .

$\frac{5 x (5 - x)}{25 + x^{2} \cdot - 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{5 x (5 - x)}{25 - 1 \cdot x^{2}}$

Étape 5.2

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{5 x (5 - x)}{25 - x^{2}}$

Étape 5.3

Réécrivez $25 - x^{2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{5 x (5 - x)}{5^{2} - x^{2}}$

Étape 5.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$\frac{5 x (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $5 - x$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x (5 - x)}{(5 + x) (5 - x)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x}{5 + x}$