Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} - \frac{1}{x}}{h}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x + h}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sqrt{x + h} x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x + h}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x + h} x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{x + h} x} - \frac{\sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{x + h} x$ .

$\frac{\frac{x}{x \sqrt{x + h}} - \frac{\sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}}{h}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}$ par $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}} \cdot \frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}}{h}$

Étape 1.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $\frac{x - \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h}}$ par $\frac{\sqrt{x + h}}{\sqrt{x + h}}$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x \sqrt{x + h} \sqrt{x + h}}}{h}$

Étape 1.6.2

Déplacez $\sqrt{x + h}$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x (\sqrt{x + h} \sqrt{x + h})}}{h}$

Étape 1.6.3

Élevez $\sqrt{x + h}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x ({\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h})}}{h}$

Étape 1.6.4

Élevez $\sqrt{x + h}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x ({\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1})}}{h}$

Étape 1.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {\sqrt{x + h}}^{1 + 1}}}{h}$

Étape 1.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {\sqrt{x + h}}^{2}}}{h}$

Étape 1.6.7

Réécrivez ${\sqrt{x + h}}^{2}$ comme $x + h$ .

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Étape 1.6.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + h}$ comme ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{h}$

Étape 1.6.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{h}$

Étape 1.6.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Étape 1.6.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}}{h}$

Étape 1.6.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x {(x + h)}^{1}}}{h}$

Étape 1.6.7.5

Simplifiez

$\frac{\frac{(x - \sqrt{x + h}) \sqrt{x + h}}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - \sqrt{x + h} \sqrt{x + h}}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.8

Multipliez $- \sqrt{x + h} \sqrt{x + h}$ .

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Étape 1.8.1

Élevez $\sqrt{x + h}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - ({\sqrt{x + h}}^{1} \sqrt{x + h})}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.8.2

Élevez $\sqrt{x + h}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - ({\sqrt{x + h}}^{1} {\sqrt{x + h}}^{1})}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {\sqrt{x + h}}^{1 + 1}}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {\sqrt{x + h}}^{2}}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1

Réécrivez ${\sqrt{x + h}}^{2}$ comme $x + h$ .

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Étape 1.9.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + h}$ comme ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {({(x + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.9.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.9.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.9.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{\frac{2}{2}}}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.9.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - {(x + h)}^{1}}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.9.1.5

Simplifiez

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Étape 1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 3

Multipliez $\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h)}$ par $\frac{1}{h}$ .

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h) h}$

Étape 4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x (x + h) h}$ .

$\frac{x \sqrt{x + h} - x - h}{x h (x + h)}$