Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\frac{1}{\sqrt{1 + x}} - 1}{x}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{1 + x}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}}{x}$

Étape 1.2

Associez $- 1$ et $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{- \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}}{x}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 - \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}}{x}$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{1 - \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{\frac{1 - \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}}{x}$

Étape 1.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{1 - \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}}}{x}$

Étape 1.5.2

Élevez $\sqrt{1 + x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{\sqrt{1 + x}}^{1} \sqrt{1 + x}}}{x}$

Étape 1.5.3

Élevez $\sqrt{1 + x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{\sqrt{1 + x}}^{1} {\sqrt{1 + x}}^{1}}}{x}$

Étape 1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{\sqrt{1 + x}}^{1 + 1}}}{x}$

Étape 1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{\sqrt{1 + x}}^{2}}}{x}$

Étape 1.5.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ comme $1 + x$ .

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Étape 1.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x}$ comme ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{x}$

Étape 1.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{x}$

Étape 1.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}}{x}$

Étape 1.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}}{x}$

Étape 1.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{{(1 + x)}^{1}}}{x}$

Étape 1.5.6.5

Simplifiez

$\frac{\frac{(1 - \sqrt{1 + x}) \sqrt{1 + x}}{1 + x}}{x}$

Étape 1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{1 \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}}{1 + x}}{x}$

Étape 1.7

Multipliez $\sqrt{1 + x}$ par $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}}{1 + x}}{x}$

Étape 1.8

Multipliez $- \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ .

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Étape 1.8.1

Élevez $\sqrt{1 + x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - ({\sqrt{1 + x}}^{1} \sqrt{1 + x})}{1 + x}}{x}$

Étape 1.8.2

Élevez $\sqrt{1 + x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - ({\sqrt{1 + x}}^{1} {\sqrt{1 + x}}^{1})}{1 + x}}{x}$

Étape 1.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1}}{1 + x}}{x}$

Étape 1.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {\sqrt{1 + x}}^{2}}{1 + x}}{x}$

Étape 1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1

Réécrivez ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ comme $1 + x$ .

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Étape 1.9.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x}$ comme ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1 + x}}{x}$

Étape 1.9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1 + x}}{x}$

Étape 1.9.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}{1 + x}}{x}$

Étape 1.9.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.9.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}{1 + x}}{x}$

Étape 1.9.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - {(1 + x)}^{1}}{1 + x}}{x}$

Étape 1.9.1.5

Simplifiez

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - (1 + x)}{1 + x}}{x}$

Étape 1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - 1 \cdot 1 - x}{1 + x}}{x}$

Étape 1.9.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{1 + x}}{x}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{1 + x} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{1 + x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{(1 + x) x}$

Étape 4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{(1 + x) x}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x} - 1 - x}{x (1 + x)}$