Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x (x + 1)$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}}$ par $\frac{x (x + 1)}{x (x + 1)}$ .

$\frac{x (x + 1)}{x (x + 1)} \cdot \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{x (x + 1) (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1})}{x (x + 1) (\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) \frac{1}{x} + x (x + 1) (- \frac{1}{x + 1})}{x (x + 1) \frac{1}{x} + x (x + 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 1) \frac{1}{x} + x (x + 1) (- \frac{1}{x + 1})}{x (x + 1) \frac{1}{x} + x (x + 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1 + x (x + 1) (- \frac{1}{x + 1})}{x (x + 1) \frac{1}{x} + x (x + 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x + 1}$ dans le numérateur.

$\frac{x + 1 + x (x + 1) \frac{- 1}{x + 1}}{x (x + 1) \frac{1}{x} + x (x + 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 3.2.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $x (x + 1)$ .

$\frac{x + 1 + (x + 1) x \frac{- 1}{x + 1}}{x (x + 1) \frac{1}{x} + x (x + 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1 + (x + 1) x \frac{- 1}{x + 1}}{x (x + 1) \frac{1}{x} + x (x + 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1 + x \cdot - 1}{x (x + 1) \frac{1}{x} + x (x + 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1 + x \cdot - 1}{x (x + 1) \frac{1}{x} + x (x + 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1 + x \cdot - 1}{x + 1 + x (x + 1) \frac{1}{x + 1}}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $x (x + 1)$ .

$\frac{x + 1 + x \cdot - 1}{x + 1 + (x + 1) x \frac{1}{x + 1}}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1 + x \cdot - 1}{x + 1 + (x + 1) x \frac{1}{x + 1}}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1 + x \cdot - 1}{x + 1 + x}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x + 1 - 1 \cdot x}{x + 1 + x}$

Étape 4.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x + 1 - x}{x + 1 + x}$

Étape 4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1}{x + 1 + x}$

Étape 4.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{x + 1 + x}$

Étape 5

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{1}{2 x + 1}$