Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{3} \cdot {(x^{3} + 2)}^{6}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{1}{3} \cdot ({(x^{3})}^{6} + 6 {(x^{3})}^{5} \cdot 2 + 15 {(x^{3})}^{4} \cdot 2^{2} + 20 {(x^{3})}^{3} \cdot 2^{3} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{6}$ .

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{3 \cdot 6} + 6 {(x^{3})}^{5} \cdot 2 + 15 {(x^{3})}^{4} \cdot 2^{2} + 20 {(x^{3})}^{3} \cdot 2^{3} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.1.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 6 {(x^{3})}^{5} \cdot 2 + 15 {(x^{3})}^{4} \cdot 2^{2} + 20 {(x^{3})}^{3} \cdot 2^{3} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{5}$ .

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 6 x^{3 \cdot 5} \cdot 2 + 15 {(x^{3})}^{4} \cdot 2^{2} + 20 {(x^{3})}^{3} \cdot 2^{3} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 6 x^{15} \cdot 2 + 15 {(x^{3})}^{4} \cdot 2^{2} + 20 {(x^{3})}^{3} \cdot 2^{3} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 15 {(x^{3})}^{4} \cdot 2^{2} + 20 {(x^{3})}^{3} \cdot 2^{3} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{4}$ .

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Étape 2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 15 x^{3 \cdot 4} \cdot 2^{2} + 20 {(x^{3})}^{3} \cdot 2^{3} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 15 x^{12} \cdot 2^{2} + 20 {(x^{3})}^{3} \cdot 2^{3} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 15 x^{12} \cdot 4 + 20 {(x^{3})}^{3} \cdot 2^{3} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.6

Multipliez $4$ par $15$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 60 x^{12} + 20 {(x^{3})}^{3} \cdot 2^{3} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{3}$ .

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Étape 2.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 60 x^{12} + 20 x^{3 \cdot 3} \cdot 2^{3} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 60 x^{12} + 20 x^{9} \cdot 2^{3} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 60 x^{12} + 20 x^{9} \cdot 8 + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.9

Multipliez $8$ par $20$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 60 x^{12} + 160 x^{9} + 15 {(x^{3})}^{2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.10

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.1.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 60 x^{12} + 160 x^{9} + 15 x^{3 \cdot 2} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 60 x^{12} + 160 x^{9} + 15 x^{6} \cdot 2^{4} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.11

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 60 x^{12} + 160 x^{9} + 15 x^{6} \cdot 16 + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.12

Multipliez $16$ par $15$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 60 x^{12} + 160 x^{9} + 240 x^{6} + 6 x^{3} \cdot 2^{5} + 2^{6})$

Étape 2.1.13

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 60 x^{12} + 160 x^{9} + 240 x^{6} + 6 x^{3} \cdot 32 + 2^{6})$

Étape 2.1.14

Multipliez $32$ par $6$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 60 x^{12} + 160 x^{9} + 240 x^{6} + 192 x^{3} + 2^{6})$

Étape 2.1.15

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{1}{3} \cdot (x^{18} + 12 x^{15} + 60 x^{12} + 160 x^{9} + 240 x^{6} + 192 x^{3} + 64)$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} x^{18} + \frac{1}{3} (12 x^{15}) + \frac{1}{3} (60 x^{12}) + \frac{1}{3} (160 x^{9}) + \frac{1}{3} (240 x^{6}) + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{18}$ .

$\frac{x^{18}}{3} + \frac{1}{3} (12 x^{15}) + \frac{1}{3} (60 x^{12}) + \frac{1}{3} (160 x^{9}) + \frac{1}{3} (240 x^{6}) + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{15}$ .

$\frac{x^{18}}{3} + \frac{1}{3} (3 (4 x^{15})) + \frac{1}{3} (60 x^{12}) + \frac{1}{3} (160 x^{9}) + \frac{1}{3} (240 x^{6}) + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{18}}{3} + \frac{1}{3} (3 (4 x^{15})) + \frac{1}{3} (60 x^{12}) + \frac{1}{3} (160 x^{9}) + \frac{1}{3} (240 x^{6}) + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + \frac{1}{3} (60 x^{12}) + \frac{1}{3} (160 x^{9}) + \frac{1}{3} (240 x^{6}) + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $60 x^{12}$ .

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + \frac{1}{3} (3 (20 x^{12})) + \frac{1}{3} (160 x^{9}) + \frac{1}{3} (240 x^{6}) + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + \frac{1}{3} (3 (20 x^{12})) + \frac{1}{3} (160 x^{9}) + \frac{1}{3} (240 x^{6}) + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + 20 x^{12} + \frac{1}{3} (160 x^{9}) + \frac{1}{3} (240 x^{6}) + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{1}{3} (160 x^{9})$ .

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Étape 3.4.1

Associez $160$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + 20 x^{12} + \frac{160}{3} x^{9} + \frac{1}{3} (240 x^{6}) + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.4.2

Associez $\frac{160}{3}$ et $x^{9}$ .

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + 20 x^{12} + \frac{160 x^{9}}{3} + \frac{1}{3} (240 x^{6}) + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $240 x^{6}$ .

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + 20 x^{12} + \frac{160 x^{9}}{3} + \frac{1}{3} (3 (80 x^{6})) + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + 20 x^{12} + \frac{160 x^{9}}{3} + \frac{1}{3} (3 (80 x^{6})) + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + 20 x^{12} + \frac{160 x^{9}}{3} + 80 x^{6} + \frac{1}{3} (192 x^{3}) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $192 x^{3}$ .

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + 20 x^{12} + \frac{160 x^{9}}{3} + 80 x^{6} + \frac{1}{3} (3 (64 x^{3})) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + 20 x^{12} + \frac{160 x^{9}}{3} + 80 x^{6} + \frac{1}{3} (3 (64 x^{3})) + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + 20 x^{12} + \frac{160 x^{9}}{3} + 80 x^{6} + 64 x^{3} + \frac{1}{3} \cdot 64$

Étape 3.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $64$ .

$\frac{x^{18}}{3} + 4 x^{15} + 20 x^{12} + \frac{160 x^{9}}{3} + 80 x^{6} + 64 x^{3} + \frac{64}{3}$