Calcul infinitésimal Exemples

$- 8 x^{2} - 8 x + 2 < 9 x - 6$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $9 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 8 x^{2} - 8 x + 2 - 9 x < - 6$

Étape 1.2

Soustrayez $9 x$ de $- 8 x$ .

$- 8 x^{2} - 17 x + 2 < - 6$

Étape 2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- 8 x^{2} - 17 x + 2 + 6 < 0$

Étape 2.2

Additionnez $2$ et $6$ .

$- 8 x^{2} - 17 x + 8 < 0$

Étape 3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 8 x^{2} - 17 x + 8 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = - 8$ , $b = - 17$ et $c = 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 8 \cdot 8)}}{2 \cdot - 8}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 17$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot - 8 \cdot 8}}{2 \cdot - 8}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 8 \cdot 8$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 32 \cdot 8}}{2 \cdot - 8}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $32$ par $8$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 256}}{2 \cdot - 8}$

Étape 6.1.3

Additionnez $289$ et $256$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{545}}{2 \cdot - 8}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{545}}{- 16}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{17 \pm \sqrt{545}}{16}$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}, - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Étape 8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Étape 9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 9.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$- 8 {(- 5)}^{2} - 8 \cdot - 5 + 2 < 9 (- 5) - 6$

Étape 9.1.3

Le côté gauche $- 158$ est inférieur au côté droit $- 51$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 8 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 2 < 9 (0) - 6$

Étape 9.2.3

Le côté gauche $2$ n’est pas inférieur au côté droit $- 6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 9.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$- 8 {(3)}^{2} - 8 \cdot 3 + 2 < 9 (3) - 6$

Étape 9.3.3

Le côté gauche $- 94$ est inférieur au côté droit $21$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ Vrai

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Faux

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Vrai

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ Vrai

$- \frac{17 + \sqrt{545}}{16} < x < - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Faux

$x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$ Vrai

Étape 10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}$ ou $x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - \frac{17 + \sqrt{545}}{16} or x > - \frac{17 - \sqrt{545}}{16}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{17 + \sqrt{545}}{16}) \cup (- \frac{17 - \sqrt{545}}{16}, \infty)$

Étape 12