Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x - 2) < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\ln (x - 2) = 0$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x - 2)} = e^{0}$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (x - 2) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x - 2$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $x - 2 = e^{0}$ .

$x - 2 = e^{0}$

Étape 2.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x - 2 = 1$

Étape 2.3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.3.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1 + 2$

Étape 2.3.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = 3$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\ln (x - 2)$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x - 2)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 2 > 0$

Étape 3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x > 2$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(2, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln ((0) - 2) < 0$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.5$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $2.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln ((2.5) - 2) < 0$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $- 0.69314718$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln ((6) - 2) < 0$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $1.38629436$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Faux

$2 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < 2$ Faux

$2 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 < x < 3$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$2 < x < 3$

Notation d’intervalle :

$(2, 3)$

Étape 8