Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 - n^{- 2}}{1 - n}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - n^{- 2}}{1 - n}$

Étape 1.2

Réécrivez $n^{- 2}$ comme ${(n^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {(n^{- 1})}^{2}}{1 - n}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = n^{- 1}$ .

$\frac{(1 + n^{- 1}) (1 - n^{- 1})}{1 - n}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(1 + \frac{1}{n}) (1 - n^{- 1})}{1 - n}$

Étape 1.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{(\frac{n}{n} + \frac{1}{n}) (1 - n^{- 1})}{1 - n}$

Étape 1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{n + 1}{n} (1 - n^{- 1})}{1 - n}$

Étape 1.4.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{n + 1}{n} (1 - \frac{1}{n})}{1 - n}$

Étape 1.4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{n + 1}{n} (\frac{n}{n} - \frac{1}{n})}{1 - n}$

Étape 1.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n - 1}{n}}{1 - n}$

Étape 2

Multipliez $\frac{n + 1}{n}$ par $\frac{n - 1}{n}$ .

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n \cdot n}}{1 - n}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{1} n}}{1 - n}$

Étape 3.2

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{1} n^{1}}}{1 - n}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{1 + 1}}}{1 - n}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{2}}}{1 - n}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{2}} \cdot \frac{1}{1 - n}$

Étape 5

Multipliez $\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{2}}$ par $\frac{1}{1 - n}$ .

$\frac{(n + 1) (n - 1)}{n^{2} (1 - n)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $n - 1$ et $1 - n$ .

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $n$ .

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n) - 1)}{n^{2} (1 - n)}$

Étape 6.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n) - 1 (1))}{n^{2} (1 - n)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- n) - 1 (1)$ .

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n + 1))}{n^{2} (1 - n)}$

Étape 6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n + 1))}{n^{2} (- n + 1)}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{(n + 1) (- 1 (- n + 1))}{n^{2} (- n + 1)}$

Étape 6.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{(n + 1) \cdot (- 1)}{n^{2}}$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $n + 1$ .

$\frac{- 1 \cdot (n + 1)}{n^{2}}$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{n + 1}{n^{2}}$