Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{x + 1}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.2

Associez $\frac{1}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.3

Pour écrire $2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.6

Réécrivez $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 1.6.1

Multipliez ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.6.1.1

Déplacez ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}) - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.6.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.6.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{2 {(1 + x)}^{1} - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.6.2

Simplifiez $2 {(1 + x)}^{1}$ .

$\frac{\frac{2 (1 + x) - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 \cdot 1 + 2 x - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.6.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\frac{2 + 2 x - x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 1.6.5

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$\frac{\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Étape 3

Multipliez $\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}$

Étape 3.2

Multipliez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $x + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Multipliez ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $x + 1$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{1}}$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 3.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 + x}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$