Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} + 8}{x + 2}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} + 8}{x + 2}$ est indéfinie.

$x = - 2$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 2^{3}}{x + 2}$

Étape 6.1.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x + 2}$

Étape 6.1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x + 2}$

Étape 6.1.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x + 2}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x + 2}$

Étape 6.1.2.2

Divisez $x^{2} - 2 x + 4$ par $1$ .

$x^{2} - 2 x + 4$

Étape 6.2

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x^{2} - 2 x + 4$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x^{2} - 2 x + 4$

Étape 8