Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{\frac{x^{2}}{64} + \frac{4}{x} + \frac{1}{2}}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{x^{2}}{64}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2}}{64} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4}{x} + \frac{1}{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{4}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{64}{64}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2}}{64} \cdot \frac{x}{x} + \frac{4}{x} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{2}}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64 x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{64}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x}{64 x} + \frac{4}{x} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{4}{x}$ par $\frac{64}{64}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x}{64 x} + \frac{4 \cdot 64}{x \cdot 64} + \frac{1}{2}}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 64$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x}{64 x} + \frac{4 \cdot 64}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x^{2} x + 4 \cdot 64}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Étape 5

Multipliez $4$ par $64$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x + 256}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Étape 6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} x^{1} + 256}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Étape 6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{x^{2 + 1} + 256}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256}{64 x} + \frac{1}{2}}$

Étape 7

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{32 x}{32 x}$ .

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256}{64 x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{32 x}{32 x}}$

Étape 8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64 x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{32 x}{32 x}$ .

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256}{64 x} + \frac{32 x}{2 (32 x)}}$

Étape 8.2

Multipliez $32$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256}{64 x} + \frac{32 x}{64 x}}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x^{3} + 256 + 32 x}{64 x}}$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sqrt{\frac{x^{3} + 32 x + 256}{64 x}}$

Étape 11

Réécrivez $\frac{x^{3} + 32 x + 256}{64 x}$ comme ${(\frac{1}{8})}^{2} \frac{x^{3} + 32 x + 256}{x}$ .

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Étape 11.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x^{3} + 32 x + 256$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (x^{3} + 32 x + 256)}{64 x}}$

Étape 11.2

Factorisez la puissance parfaite $8^{2}$ dans $64 x$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} (x^{3} + 32 x + 256)}{8^{2} x}}$

Étape 11.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (x^{3} + 32 x + 256)}{8^{2} x}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{8})}^{2} \frac{x^{3} + 32 x + 256}{x}}$

Étape 12

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{8} \sqrt{\frac{x^{3} + 32 x + 256}{x}}$

Étape 13

Réécrivez $\sqrt{\frac{x^{3} + 32 x + 256}{x}}$ comme $\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{\sqrt{x}}$

Étape 14

Associez.

$\frac{1 \sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}}$

Étape 15

Multipliez $\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}}$

Étape 16

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 17

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 17.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256}}{8 \sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 17.2

Déplacez $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Étape 17.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Étape 17.4

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Étape 17.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 17.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 {\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 17.7

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 17.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 17.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 17.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 17.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 17.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x^{1}}$

Étape 17.7.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{x^{3} + 32 x + 256} \sqrt{x}}{8 x}$

Étape 18

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{(x^{3} + 32 x + 256) x}}{8 x}$

Étape 19

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt{(x^{3} + 32 x + 256) x}}{8 x}$ .

$\frac{\sqrt{x (x^{3} + 32 x + 256)}}{8 x}$