Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x - 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 1.2

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

Étape 1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{3}$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Étape 1.5.2

Divisez $2 x - 1$ par $1$ .

$2 x - 1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{3}$ .

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Étape 1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 x - 1 = \frac{A {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Étape 1.6.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$2 x - 1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Étape 1.6.2

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{3}$ et ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.6.2.1

Factorisez ${(x + 1)}^{2}$ à partir de $(B) {(x + 1)}^{3}$ .

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Étape 1.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Étape 1.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Étape 1.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x - 1 = A + \frac{B (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Étape 1.6.2.2.4

Divisez $B (x + 1)$ par $1$ .

$2 x - 1 = A + B (x + 1) + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Étape 1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 1 = A + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Étape 1.6.4

Multipliez $B$ par $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

Étape 1.6.5

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{3}$ et $x + 1$ .

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Étape 1.6.5.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(C) {(x + 1)}^{3}$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

Étape 1.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 1.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 1.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{C {(x + 1)}^{2}}{1}$

Étape 1.6.5.2.4

Divisez $C {(x + 1)}^{2}$ par $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C {(x + 1)}^{2}$

Étape 1.6.6

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C ((x + 1) (x + 1))$

Étape 1.6.7

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Étape 1.6.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Étape 1.6.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 1.6.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 1.6.8.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 1.6.8.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Étape 1.6.8.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1)$

Étape 1.6.8.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 1.6.9

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + C (2 x) + C \cdot 1$

Étape 1.6.10

Simplifiez

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Étape 1.6.10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1$

Étape 1.6.10.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C$

Étape 1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.1

Déplacez $B$ .

$2 x - 1 = A + B x + C x^{2} + 2 C x + B + C$

Étape 1.7.2

Déplacez $A$ .

$2 x - 1 = B x + C x^{2} + 2 C x + A + B + C$

Étape 1.7.3

Remettez dans l’ordre $B x$ et $C x^{2}$ .

$2 x - 1 = C x^{2} + B x + 2 C x + A + B + C$

Étape 2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = C$

Étape 2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$2 = B + 2 C$

Étape 2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$- 1 = A + B + C$

Étape 2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $0$ dans chaque équation.

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Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $2 = B + 2 C$ par $0$ .

$2 = B + 2 (0)$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $B + 2 (0)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 = B + 0$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Étape 3.2.2.1.2

Additionnez $B$ et $0$ .

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $- 1 = A + B + C$ par $0$ .

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

Étape 3.2.4

Simplifiez $- 1 = A + B + 0$ .

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Étape 3.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.4.1.1

Supprimez les parenthèses.

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

Étape 3.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.2.1

Additionnez $A + B$ et $0$ .

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

Étape 3.3

Réécrivez l’équation comme $B = 2$ .

$B = 2$

$- 1 = A + B$

$C = 0$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $2$ dans chaque équation.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $- 1 = A + B$ par $2$ .

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

Étape 3.5

Résolvez $A$ dans $- 1 = A + 2$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $A + 2 = - 1$ .

$A + 2 = - 1$

$B = 2$

$C = 0$

Étape 3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$A = - 1 - 2$

$B = 2$

$C = 0$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

Étape 3.6

Résolvez le système d’équations.

$A = - 3 B = 2 C = 0$

Étape 3.7

Indiquez toutes les solutions.

$A = - 3, B = 2, C = 0$

Étape 4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$