Calcul infinitésimal Exemples

$z = e^{- (x^{2} + y^{2})}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$ .

$e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})}) = \ln (z)$

Étape 3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.1

Développez $\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})})$ en déplaçant $- (x^{2} + y^{2})$ hors du logarithme.

$- (x^{2} + y^{2}) \ln (e) = \ln (z)$

Étape 3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- (x^{2} + y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- x^{2} - y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

Étape 3.4

Multipliez $- x^{2} - y^{2}$ par $1$ .

$- x^{2} - y^{2} = \ln (z)$

Étape 4

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (z)}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (z)$ comme $- \ln (z)$ .

$y^{2} = - \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

Étape 5.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - 1 \cdot x^{2}$

Étape 5.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - x^{2}$

Étape 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

Étape 8

Définissez l’argument dans $\ln (z)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$z > 0$

Étape 9

Définissez le radicande dans $\sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- \ln (z) - x^{2} \geq 0$

Étape 10

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- \ln (z) \geq x^{2}$

Étape 11

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $z$ qui rendent l’expression définie.

$[N o (Max i m u m), \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${z | z \geq N o (Max i m u m)}$