Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{24 + 2 x - x^{2}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{24 + 2 x - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$24 + 2 x - x^{2} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$24 + 2 x - x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $24 + 2 x - x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 2.2.1.1.1

Déplacez $24$ .

$2 x - x^{2} + 24 = 0$

Étape 2.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 24 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 24 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 24 = 0$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez $24$ comme $- 1 (- 24)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 24 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 24 = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 24)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 24) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 6, 4$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 6) (x + 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 6) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 6, - 4$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 6$

$x > 6$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$24 + 2 (- 6) - {(- 6)}^{2} \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $- 24$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$24 + 2 (0) - {(0)}^{2} \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $24$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$24 + 2 (8) - {(8)}^{2} \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $- 24$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 \leq x \leq 6$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 4, 6]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 4 \leq x \leq 6}$

Étape 4