Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{\sin (π (x - 1))} + \sqrt{4 - x^{2}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\sin (π (x - 1))}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sin (π (x - 1)) \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$π (x - 1) \geq \arcsin (0)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $π (x - 1)$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$π x + π \cdot - 1 \geq \arcsin (0)$

Étape 2.2.1.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $π$ .

$π x - 1 \cdot π \geq \arcsin (0)$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $- 1 π$ comme $- π$ .

$π x - π \geq \arcsin (0)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$π x - π \geq 0$

Étape 2.4

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’inégalité.

$π x \geq π$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $π x \geq π$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $π x \geq π$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{π}{π}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x \geq \frac{π}{π}$

Étape 2.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x \geq 1$

Étape 2.6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$π x - π = π - 0$

Étape 2.7

Résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$π x - π = π$

Étape 2.7.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.7.2.1

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$π x = π + π$

Étape 2.7.2.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$π x = 2 π$

Étape 2.7.3

Divisez chaque terme dans $π x = 2 π$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 2.7.3.1

Divisez chaque terme dans $π x = 2 π$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Étape 2.7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Étape 2.7.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 π}{π}$

Étape 2.7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.3.3.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.7.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{π}$

Étape 2.7.3.3.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$x = 2$

Étape 2.8

Déterminez la période de $\sin (π (x - 1))$ .

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Étape 2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.8.2

Remplacez $b$ par $π$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| π |}$

Étape 2.8.3

$π$ est d’environ $3.14159265$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{π}$

Étape 2.8.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{π}$

Étape 2.8.4.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.9

La période de la fonction $\sin (π (x - 1))$ est $2$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2$ radians dans les deux sens.

$x = 1 + 2 n, 2 + 2 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.10

Consolidez les réponses.

$x = 1 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

Étape 2.12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 2.12.1.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (π ((0.5) - 1)) \geq 0$

Étape 2.12.1.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.5$

Étape 2.12.2.2

Remplacez $x$ par $1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (π ((1.5) - 1)) \geq 0$

Étape 2.12.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.12.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < 1$ Faux

$1 < x < 2$ Vrai

$0 < x < 1$ Faux

$1 < x < 2$ Vrai

Étape 2.13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$1 + 2 n \leq x \leq 2 + 2 n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{4 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$4 - x^{2} \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 4$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 4$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Étape 4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Étape 4.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{4}$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq | 2 |$

Étape 4.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x | \leq 2$

Étape 4.5

Écrivez $| x | \leq 2$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 4.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 4.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 2$

Étape 4.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 4.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 2$

Étape 4.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Étape 4.6

Déterminez l’intersection de $x \leq 2$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Étape 4.7

Résolvez $- x \leq 2$ quand $x < 0$ .

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Étape 4.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Étape 4.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Étape 4.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Étape 4.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.1.3.1

Divisez $2$ par $- 1$ .

$x \geq - 2$

Étape 4.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 2$ et $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Étape 4.8

Déterminez l’union des solutions.

$- 2 \leq x \leq 2$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 2 \leq x \leq 2, x = 1 + 2 n, x = 2 + 2 n}$

Étape 6